Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…），
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，对任意n∈N^*，T_n＞都成立，求整数m的最大值．

Answer

（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）•（an-an-1-2）=0．从而能求出{an}的通项公式．
（2）由（1）知bn===（-），由此利用裂项求和法能求出Tn．
（3）由（2）知Tn=（1-），Tn+1-Tn=（-）＞0，从而得到[Tn]min=T1=．由此能求出任意n∈N*，Tn＞都成立的整数m的最大值．
【解析】
（1）∵4Sn=（an+1）2，①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②
①-②得
4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2．
∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2．
化简得（an+an-1）•（an-an-1-2）=0．
∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）．
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）bn===（-）．
∴Tn=[（1-）+（）+…+（-）]
=（1-）=．
（3）由（2）知Tn=（1-），
Tn+1-Tn=（1-）-（1-）
=（-）＞0．
∴数列{Tn}是递增数列．
∴[Tn]min=T1=．
∴＜，
∴m＜．
∴整数m的最大值是7．