Question

f（x）=的值域是（ ）
A．R
B．[4，+∞）
C．[4，+∞）∪（-∞，0]
D．（-∞，0]

Answer

将函数化成f（x）=x++2，利用基本不等式可得：当x＞0时，f（x）≥2+2=4，当且仅当x=1时f（x）的最小值为f（1）=4，此时的值域为[4，+∞）．同理求得当x＜0时，f（x）的最大值为f（-1）=0，得到x＜0时函数的值域为（-∞，0]．由此综合前面的结论，即可得到本题的答案．
【解析】
∵f（x）==x++2
∴当x＞0时，x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时等号成立
可得当x＞0时，f（x）的最小值为4，即此时的值域为[4，+∞）
又∵当x＜0时，-f（x）+2=（-x）+（-）≥2=2
当且仅当x=-1时等号成立
∴当x＜0时，-f（x）+2的最小值为2，因此f（x）的最大值为0
此时函数的值域为（-∞，0]
综上所述，函数f（x）的值域为（-∞，0]∪[4，+∞）
故选：C