Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=（n≥2）．
（1）求a₂，a₃，
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设{a_n}的前n项和S_n，证明：S_n＞2-．

Answer

（1）a1=1，再an=（n≥2）中令n=2求a2，令n=3求a3．
（2）由an=（n≥2），两边取倒数，得出=，令cn=，构造得出数列{cn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
通过数列{cn+1}的通项公式求an．
（3）由（2）an=，直接求Sn不易求．将每项进行缩小，an=＞，利用错位相消法将右边相加、化简后，即可证明．
【解析】
（1），
（2）an=（n≥2）．
∴=，
令cn=，则cn=2cn-1+1，cn+1=2（cn-1+1），
又c1+1==2，所以数列{cn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以cn+1=2n，cn=2n-1，
∴an=
（3）an=＞，所以Sn＞a1+a2+…+an=
令Tn=①
则=②
①-②得==
Tn=2-．
所以Sn＞2-．