Question

已知F₁，F₂是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，点P（a，b），若△F₁PF₂为等腰三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的动点，满足=-2，求点M的轨迹方程．

Answer

（1）由题意可知P在第一象限，且PF2=F1F2，由两点间的距离公式求出PF2的长度，利用PF2=2c列式可求椭圆的离心率；
（2）由P和F2的坐标写出PF2的斜率，写出直线方程，和椭圆方程联立求出A点坐标，可知B得坐标，设出M的坐标后得到向量的坐标，代入=-2后整理可得点M的轨迹方程．
【解析】
（1）由△F1PF2为等腰三角形，若PF1=PF2，则P点在y轴上，与P（a，b）矛盾，
所以PF2=F1F2，所以PF2=2c，
由F2（c，0），所以=（a-c）2+b2=4c2，把b2=a2-c2代入得，
a2-2ac+c2+a2-c2=4c2，整理得：2c2+ac-a2=0．
即2e2+e-1=0，（2e-1）（e+1）=0，解得：；
（2）直线PA为，
又a=2c，所以PA方程为．
代入椭圆方程得A交点为（），B为（0，-b）．
设M（x，y），
则，．
由=-2，得
，
整理得
．