(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x2+y2=1,由此可以证出.
(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=
再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.
证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x2+y2=1,
所以,.
(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
设B(x1,y1),D(x2,y2),则,
|BD|=;
因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为,
所以,|AC|=.
四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.
当k2=1时,上式取等号.
(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.
综上,四边形ABCD的面积的最小值为.