Question

关于x的方程：（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题，其中真命题的个数有（ ）
（1）存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
（2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
（3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
（4）存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．
【解析】
关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0可化为（x2-1）2-（x2-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x2-1）2+（x2-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
当k=-2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，
即原方程恰有4个不同的实根
当k=0时，方程（1）的解为-1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根
当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，
即原方程恰有8个不同的实根
∴四个命题都是真命题
故选D．