Question

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数记为d_m，求数列{d_m}的前m项和T_m．

Answer

（I）当n=1时，S1=2a1-2，a1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1，所以an=2an-1，容易试求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）=，应用错位相消法求和
（Ⅲ）数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内，即am＜2bn＜a2m，所以2m＜2n＜22m，2m-1＜n＜22m-1，所以数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内的项的个数dm=22m-1-2m-1-1，分组后，再利用等比数列求和公式化简整理．
【解析】
（I）当n=1时，S1=2a1-2，a1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1，所以an=2an-1，数列{an}是以2为为公比的等比数列，且首项a1=2，
通项公式为an=2×2n-1=2n，
（Ⅱ）=
Tn=，两边同乘以得
Tn=
两式相减得出Tn===
∴Tn=
∴Tn＜2
（Ⅲ）数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内，即am＜2bn＜a2m，所以2m＜2n＜22m，2m-1＜n＜22m-1，
所以数列{2bn}中落入区间（am，a2m）内的项的个数dm=22m-1-2m-1-1，
所以Tm．==