Question

数列{a_n}的前几项S_n=n²，数列{b_n}为等比数列，且b₂=3，b₅=81．
（1）求a₂、a₃
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由Sn=n2，分别求出S1，S2，S3，进而根据a2=S2-S1，a3=S3-S2，得到a2、a3
（2）根据n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1，可得数列{an}的通项公式，由b2=3，b5=81，求出等比数列{bn}的公比，进而可得等比数列{bn}的通项公式
（3）利用错位相减法，可求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项Sn=n2，
∴S1=1，S2=4，S3=9，
∴a2=S2-S1=3
a3=S3-S2=4
（2）当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1
又由n=1时，2n-1=1
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1
等比数列{bn}中，∵b2=3，b5=81．
∴q3==27
解得q=3
∴等比数列{bn}的通项公式为bn=b2•qn-2=3×3n-2=3n-1
（3）∵cn=an•bn=（2n-1）•3n-1
∴Tn=1×1+3×3+5×32+…+（2n-1）•3n-1…①
3Tn=1×3+3×32+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n…②
①-②得
-2Tn=1+2（3+32+…+3n-1）-（2n-1）•3n=1+3n-3-（2n-1）•3n=（2-2n）•3n-2
∴Tn=（n-1）3n+1