Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x． 
（Ⅰ）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；
（Ⅱ）写出函数f（x）的解析式和值域；
（Ⅲ）若f（a+1）=（a+1）（a-1），求a的取值集合．

Answer

（I）根据偶函数的图象关于y轴对称，由已知中数f（x）在y轴左侧的图象，可得完整函数f（x）的图象，根据函数图象从左到右上升的部分对应函数的增区间，可得函数f（x）的增区间；
（Ⅱ）由当x≤0时，f（x）=x2+2x，x＞0时，-x＜0，由偶函数的定义，可得x＞0时的函数解析式，综合两个情况可得函数的解析式
（III）结合（II）中函数的解析式，结合f（a+1）=（a+1）（a-1），可构造关于a的方程组，进而结合绝对值的性质，求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）根据偶函数的图象关于y轴对称，可得函数f（x）的图象如下图所示：

由图象可知函数f（x）单调增区间是（-1，0），（1，+∞）（4分）
（Ⅱ）∵当x≤0时，f（x）=x2+2x
∴当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=（-x）2+2•（-x）=x2-2x
又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x2-2x
综上，当x∈R时，f（x）=x2-2|x|…（6分）
由图象可得函数的值域为[-1，+∞）…（8分）
（Ⅲ）由f（a+1）=（a+1）（a-1），及f（x）=x2-2|x|得
（a+1）2-2|a+1|=（a+1）（a-1），
即|a+1|=a+1
即a+1≥0
解得a≥-1
故a的取值集合是[-1，+∞）…（12分）