Question

已知在函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解，求实数k的取值范围；
（3）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（1）f′（x）=-3x2+2ax+b，由题意可得，解得即可．
（2）利用f′（x）=0，解得或-2．在求出f（-3），f（-2），，f（1），画出图象得出k的取值范围．
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．由函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，可得f′（x）=-3x2-bx+b≥0恒成立，转化为在区间[-2，0]上恒成立．令，利用导数求出其最大值．
【解析】
（1）f′（x）=-3x2+2ax+b，由题意可得，解得，
经验证满足条件，
∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．
（2）∵f′（x）=-3x2-4x+4=-（3x-2）（x+2）=0，解得或-2．
∵f（-3）=-6，f（-2）=-11，=，f（1）=-2．
画出图象可知：当-11＜k≤-6或时，f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解；
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．
∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，∴f′（x）=-3x2-bx+b≥0恒成立，
∴在区间[-2，0]上恒成立．
令，则≥0，
∴g（x）在区间[-2，0]上单调递增，得g（x）max=0．
∴b≥0．