Question

一艘轮船1小时的燃料费P元与速度v（公里/小时）的函数关系为P=kv³．已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时5元，而其它和速度无关的费用是每小时80元．
（1）求k的值；
（2）已知甲，乙两地相距100公里，问该轮船以多大的速度行驶时，从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小？

Answer

（1）由函数关系式P=kv3．速度为每小时10公里时，燃料费是每小时5元，求出比例系数即可；
（2）根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式，再利用函数的导数去求函数的最小值即可．
解．（1）1小时的燃料费P元与速度v（公里/小时）的函数关系为p=kv3．
又∵5=k•103，∴k=0.005．…（4分）
（2）由（1）得p=0.005v3，（v＞0）
设从甲地行驶到乙地所需的费用总和为y元，
则y==．（v＞0）…（6分）
∴y′=，由y′=0，得v=20（公里/小时）．      …（9分）
又∵当v＜20时，y′＜0；当v＞20时，y′＞0．
∴当速度为20公里/小时时，航行所需的费用总和为最小，最小值为600元．…（13分）