根据已知结合等腰三角形三线合一,线面垂直及面面垂直的判定定理,可证得平面ABC⊥平面A′GF,进而根据面面垂直的性质可判断①;由A′与A,F两点重合时,BC⊂平面A′DE可判断②;当平面ABC⊥平面A′DE时,三棱锥A′-FED的高取最大值,三棱锥A′-FED的体积取最大值,可判断③.
【解析】
∵等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,
∴G为AF和DE的中点,且AF⊥DE于G点
则△A′DE与△FDE均为等边三角形,
∴A′G⊥DE且FG⊥DE
又∵A′G∩FG=G,A′G,FG⊂平面A′GF
∴DE⊥平面A′GF
又由DE⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面A′GF
故动点A′在平面ABC上的射影在两个平面的交线线段AF上;故①正确
由BC∥DE,当BC⊄平面A′DE,即A′与A,F两点不重合时,BC∥平面A′DE;
但A′与A,F两点重合时,BC⊂平面A′DE;故②错误
当平面ABC⊥平面A′DE时,三棱锥A′-FED的高取最大值,三棱锥A′-FED的体积取最大值.故③正确
故正确的命题有①③
故答案为:①③