Question

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，如果不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

由f（x）递增知，f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]恒成立⇔1-ax-x2＜2-a对于任意x∈[0，1]恒成立⇔x2+ax+1-a＞0对于任意x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax+1-a，x∈[0，1]，所以原问题⇔g（x）min＞0，根据二次函数性质可求得最小值．
【解析】
∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]恒成立⇔1-ax-x2＜2-a对于任意x∈[0，1]恒成立⇔x2+ax+1-a＞0对于任意x∈[0，1]恒成立，
令g（x）=x2+ax+1-a，x∈[0，1]，所以原问题⇔g（x）min＞0，
g（x）图象的对称轴方程为x=-，
当-＜0即a＞0时，g（x）在[0，1]上递增，所以g（x）min=g（0）=1-a；
当0≤-≤1即-2≤a≤0时，g（x）min=g（-）=-；
当-＞1即a＜-2时，g（x）在[0，1]上递减，g（x）min=g（1）=2；

所以，
由g（x）min＞0，解得0＜a＜1．
所以实数a的范围0＜a＜1．