Question

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R（x）（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

Answer

（1）根据题意，设利润函数为f（x），成本函数为G（x）=x+2，则f（x）=G（x）-R（x），结合题中R（x）分段的表达式，即可得到f（x） 分段的表达式．再分0≤x≤5和x＞5时两种情况解关于x的不等式f（x）＞0，得到的解集即为使工厂有赢利的产量x的取值范围．
（2）分0≤x≤5和x＞5时两种情况讨论，分别求二次函数y=-0.4x2+3.2x-2.8与一次函数y=8.2-x的最大值，最后综合可得使赢利最多时的产量x的值．
【解析】
根据题意，设成本函数G（x）=x+2，利润函数为f（x），则…（4分）
（Ⅰ） 要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，
①当0≤x≤5时，解不等式-0.4x2+3.2x-2.8＞0，化简得x2-8x+7＜0．
解之得1＜x＜7，结合0≤x≤5得1＜x≤5；     …（7分）
②当x＞5时，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴结合x＞5，得5＜x＜8.2．
综上所述，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．…（9分）
（Ⅱ）①0≤x≤5时，f（x）=-0.4x2+3.2x-2.8=-0.4（x-4）2+3.6
可得当x=4时，f（x）有最大值3.6．…（10分）
②当x＞5时，f（x）＜8.2-5=3.2
综上所述，f（x）的最大值为f（4）=3.6
∴当工厂生产400台产品时，可使赢利最多．…13 分