Question

已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、D₁分别为AC、A₁C₁上的点．
（1）当等于何值时，BC₁∥平面AB₁D_1？
（2）若平面BC₁D∥平面AB₁D₁，求的值．

Answer

（1）欲证BC1∥平面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC1与平面AB1D1内一直线平行，取D1为线段A1C1的中点，此时=1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1，OD1∥BC1，OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，满足定理所需条件；
（2）根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，根据比例关系即可求出所求．
【解析】
（1）如图，取D1为线段A1C1的中点，此时=1，
连接A1B交AB1于点O，连接OD1．
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，
∴OD1∥BC1．
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
∴=1时，BC1∥平面AB1D1，

（2）由已知，平面BC1D∥平面AB1D1
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O．
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1．
∴=，=．
又∵=1，
∴=1，即=1．