Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．
（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求三棱锥P-ACE的体积．

Answer

（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF∥平面ACE．
（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P-ACE的体积VP-ACE=VC-PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．
【解析】
（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．
设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．
（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．
三棱锥P-ACE的体积VP-ACE=VC-PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．