Question

已知各项均为正数的两个无穷数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）当数列{a_n}是常数列（各项都相等的数列），且b₁=时，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a_n}有无穷多个，而数列{b_n}惟一确定；
（Ⅲ）设a_n+1=，S_n=，求证：2＜＜6．

Answer

（I）设an=a＞0，利用数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），可得bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．于是bn+1-bn-1=2．可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；
（III）利用，可得an+1-an=-an=，于是an＜an+1．利用anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．又anbn+1=（2n-bn）•an+1＞0，an+1＞0，可得2n-bn＞0．可得，进而得出．
（I）【解析】
设an=a＞0，∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），
∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．
∴bn+1-bn-1=2．
∴可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
又，b1+b2=2，可得．
∴=，=，
即（n∈N*）．
（2）证明：设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，
则an=a1+（n-1）d，bn=b1+（n-1）d2，
代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，
可得，解得，
可得an=na1，bn=n．
∴只有取a1＞0可得数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；
（3）证明：∵，
∴an+1-an=-an=，
∴an＜an+1．
∴anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．
因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-1+b2n）＞2[1+3+…+（2n-1）]=2n2．
又anbn+1=（2n-bn）•an+1＞0，an+1＞0，
∴2n-bn＞0．
∴=2n（1+2n）=4n2+2n，
∴，
∴．