Question

数列{2ⁿ-1}的前n项组成集合，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如：当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求S₃；
（Ⅱ）猜想S_n，并用数学归纳法证明．

Answer

（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得 S3=T1+T2+T3的值．
（Ⅱ）由S1=1=21-1=-1，S2=7=23-1=-1，S3=63=26-1=-1，猜想 Sn=-1，用数学归纳法进行证明．
【解析】
（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，
T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，
所以S3=11+31+21=63．
（Ⅱ）由S1=1=21-1=-1，S2=7=23-1=-1，S3=63=26-1=-1，
猜想 Sn=-1，下面证明：（1）易知n=1时成立．
（2）假设n=k时，Sn=Sk=-1，
则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1
=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）]
（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），
=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）
=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk =2k+1（ ）+（2k+1-1）
=2k+1•=-1，即n=k时，
Sk+1=-1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N*，Sn=-1成立．
所以，Sn=-1．