Question

已知函数f（x）=，且f（x）+g（x）=，
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．

Answer

（1）函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数⇔≤0在区间[1，+∞）上恒成立⇔a≥1-lnx在区间[1，+∞）上恒成立，⇔a≥[1-lnx]max，在区间[1，+∞）上．利用其单调性解出即可．
（2）g（x）==lnx-．（x＞0）．可得．对a分类讨论：①当a≥0时，②当a＜0时，当-a＜1时；当-a＞e时，即a＜-e；当1≤-a≤e时，利用其单调性求出即可．
【解析】
（1）∵函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，∴≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴a≥1-lnx在区间[1，+∞）上恒成立，
等价于a≥[1-lnx]max，在区间[1，+∞）上．
∵1-lnx在区间[1，+∞）上单调递减，
∴[1-lnx]max=1-ln1=1，∴a≥1．
即实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）g（x）==lnx-．（x＞0）．
．
①当a≥0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，在[1，e]上单调递增，
∴g（x）min=g（1）=-a=，解得，应舍去．
②当a＜0时，g（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
当-a＜1时，即-1＜a＜0，g（x）在[1，e]上单调递增，，解得a=-，应舍去．
当-a＞e时，即a＜-e，g（x）在[1，e]上单调递减，，解得a=-，应舍去．
当1≤-a≤e时，即-e≤a≤-1，g（x）在[1，-a]上单调递减，在（-a，e）单调递增，
∴g（x）min=g（-a）=ln（-a）+1=，解得a=-．
综上所述，．