Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=，求证：对任意正整n，总有T_n＜2．

Answer

（1）（2）由题意可得，利用和等差数列的通项公式即可得出．
（3）由（2）可得．当n≥2时，，利用裂项求和即可证明．
【解析】
（1）∵对于任意的n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
∴，
令n=1，得，解得a1=1．
（2）当n≥2时，由，，
得，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵∀n∈N*，an＞0，∴an-an-1=1，
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n．
（3）由（2）可得．
当n≥2时，，
∴=2-．
当n=1时，T1=bn=1＜2．
∴对任意正整n，总有Tn＜2．