Question

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离最小．

Answer

（1）设出动点坐标，利用向量数量积公式及模长公式，即可求动点P的轨迹C；
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离．
【解析】
（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴，，． …（3分）
由，得，…（4分）
∴（x2-8x+16）=4（x2-2x+1）+4y2，故3x2+4y2=12，即，
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆；            …（7分）
评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣（1分）．
（2）椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l：x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离．
设直线l1的方程为x+2y+m=0（m≠-12）．            …（8分）
由，消去y得4x2+2mx+m2-12=0（*）．
依题意得△=0，即4m2-16（m2-12）=0，故m2=16，解得m=±4．
当m=4时，直线l1：x+2y+4=0，直线l与l1的距离．
当m=-4时，直线l1：x+2y-4=0，直线l与l1的距离．
由于，故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为．…（12分）
当m=-4时，方程（*）化为4x2-8x+4=0，即（x-1）2=0，解得x=1．
由1+2y-4=0，得，故．                     …（13分）
∴曲线C上的点到直线l的距离最小．   …（14分）