Question

已知f（x）=，
（1）求函数f（x）的定义域、值域．
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer

（1）对于任意实数x，都有2x＞0，进而可得函数解析式恒有意义，即可得到函数f（x）的定义域；由f（x）=1-，结合指数函数的值域利用分析法，可求出值域．
（2）任取实数x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
【解析】
（1）∵∀x∈R，都有2x＞0，
∴2x+1＞1，
故函数f（x）=的定义域为实数集R．
∵f（x）==1-，
而2x＞0，
∴2x+1＞1，
∴0＜＜2，
∴-2＜-＜0，
∴-1＜1-＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（3）∀x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=1--（1-）=，
∵2＞1，∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在实数集R上单调递增．