Question

如图：在三棱锥S-ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若SA=SC，BA=BC，求证：平面SBD⊥平面ABC．

Answer

（Ⅰ）欲证EF∥平面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC内一直线平行，而EF是△SAC的中位线，则EF∥AC．又EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证平面SBD⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABC内一直线与平面SBD垂直，而SD⊥AC，BD⊥AC，又SD∩DB=D，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面SBD，又AC⊂平面ABC，从而得到结论．
证明：（Ⅰ）∵EF是△SAC的中位线，
∴EF∥AC．又∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）∵SA=SC，AD=DC，∴SD⊥AC．
∵BA=BC，AD=DC，∴BD⊥AC．
又∵SD⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，SD∩DB=D，
∴AC⊥平面SBD，又∵AC⊂平面ABC，
∴平面SBD⊥平面ABC．（12分）