Question

已知函数．
（1）若a=-1，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x＞1时，f（x）＞lnx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）若a=-1时，，x＞0，由f′（x）＞0，能求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）依题意得f（x）-lnx＞0，故，所以，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵，
∴若a=-1时，，x＞0，
由f′（x）＞0，得，又x＞0，解得x＞1，
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
（2）依题意得f（x）-lnx＞0，
即，
∴
∵x＞1，∴lnx＞0
∴，
∴，
设，，
令g′（x）=0，解得x=，
当时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；
当时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；
∴
∴a-1＞-e，即a＞1-e．
故实数a的取值范围是（1-e，+∞）．