Question

已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线6x+y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（2）当a＞0时，求：
①讨论函数f（x）的单调区间；
②对任意的x＜-1，恒有f（x）＜1，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求导数，可得切线的斜率，从而可求切线的方程；
（2）①求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
②分类讨论，求得函数的最大值，根据对任意的x＜-1，恒有f（x）max＜1，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）f'（x）=ax2+x-a+1，得切线斜率为k=f'（2）=3a+3---------（2分）
据题设，k=-6，所以a=-3，故有f（2）=3----------------------------（3分）
所以切线方程为y-f（2）=-6（x-2），即6x+y-15=0------------------------（4分）
（2）①
若，则，可知函数f（x）的增区间为和（-1，+∞），减区间为-----------------（6分）
若，则，可知函数f（x）的增区间为（-∞，+∞）；------------（7分）
若，则，可知函数f（x）的增区间为（-∞，-1）和，减区间为-------------------------------------（9分）
②当时，据①知函数f（x）在区间上递增，在区间上递减，
所以，当x＜-1时，，故只需，即
显然a≠1，变形为，即，解得---------（11分）
当时，据①知函数f（x）在区间（-∞，-1）上递增，则有
只需，解得．----------（13分）
综上，正实数a的取值范围是--------------------------------------------（14分）