Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0）B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①++=；②||=||=||；③∥．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点E，F，求△OEF面积的最大值．

Answer

（1）分别设出点C、G、M的坐标，利用条件||=||求出M的横坐标，结合∥可得G和M的纵坐标相等，然后利用把G和M的坐标用C的坐标表示，代入||=||即可得到C的轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到E、F两点的横坐标的和与积，写出面积后得到关于直线斜率k的表达式，利用换元法降幂，然后利用导数求最值．
（1）【解析】
设C（x，y），G（x，y），M（xM，yM）．
∵，
∴M点在线段AB的中垂线上．由已知A（-1，0），B（1，0），∴xM=0．
又∵，∴yM=y．又，
∴（-1-x，-y）+（1-x，-y）+（x-x，y-y）=（0，0）
∴，∴． 
∵|MB|=|MC|，∴，
∴（y≠0），∴顶点C轨迹方程为（y≠0）．
（2）设直线l方程为：y=k（x-3）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），
由，消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0   ①
∴，． 
由方程①知△=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）＞0，
∴k2＜，∵k≠0，∴0＜k2＜．  
而=
=．
令k2=t，则，．记，
求导后可得当时△OEF面积有最大值为．