Question

某地西红柿上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f（x）=a•b^x，②f（x）=ax²+bx+1，③f（x）=x（x-b）²+a，（以上三式中a，b均是不为零的常数，且b＞1）
（1）为了准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，5]）．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推；为保证该地的经济收益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该西红柿将在哪几个月份内价格下跌．

Answer

（1）由题意可知函数必须先单调递增，再单调递减，最后单调递增，题中所给的三种函数模型仅有③符合，然后利用导数加以证明；
（2）将f（0）=4，f（2）=6代入函数模型，求得函数解析式，然后利用导函数求出单调减区间，结合题意即可得到答案．
【解析】
（1）依题意，符合本题函数模型的函数必须先单调递增，再单调递减，最后单调递增，所以最符合的函数模型为③f（x）=x（x-b）2+a．
分析：∵f（x）=x（x-b）2+a=x3-2bx2+b2x+a．
对此函数求导，得
，
由f′（x）=0，得．由b＞1知，
f（x）在和[b，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，符合题意．
（2）将f（0）=4，f（2）=6代入f（x）=x（x-b）2+a=x3-2bx2+b2x+a．得
，解得．
∴f（x）=x3-6x2+9x+4（x∈[0，5]）．
f′（x）=3x2-12x+9=3（x-3）（x-1），
由（1）得f（x）在（1，3）上单调递减，
依题意，可以预测这种西红柿将在9，10两月份价格下跌．