Question

已知数列{a_n}的首项a₁=4，且（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设，证明：当且仅当n≥3时，c_n+1＜c_n．

Answer

（1）由已知中，利用裂项相消法可得=，结合a1=4，可得数列{an}的通项公式，由数列{bn}的前n项和Sn=2-bn，根据n≥2时，Sn-1=2-bn-1，易得数列为等比数列，求出首项后，可得数列{bn}的通项公式
（2）由（1）中数列{an}和{bn}的通项公式；求出数列{Cn}的通项公式，作差Cn+1-Cn并化简，易得当n＜3时，Cn+1-Cn＞0，当n≥3时，Cn+1-Cn＜0，综合讨论结果，可得答案．
【解析】
（1）∵==
∴…=…=
即=
又∵a1=4，
∴an=4n，
∵数列{bn}的前n项和Sn=2-bn…①
当n≥2时，Sn-1=2-bn-1…②
①-②得bn=bn-1-bn，
即=
又∵n=1时，S1=2-b1=b1，
∴b1=1
故数列{bn}是一个以1为首项，以为公比的等比数列
故bn=21-n
证明：（2）∵=n225-n
∴Cn+1-Cn=（n+1）224-n-n225-n=24-n[-（n-1）2+2]
当n＜3时，Cn+1-Cn＞0
当n≥3时，Cn+1-Cn＜0
即当且仅当n≥3时，cn+1＜cn．