Question

已知函数f（x）=（x-a）²e^x，a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x∈（-∞，1]，不等式f（x）≤4e恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程在区间[-2，t]上总有两个不同的解．

Answer

（1）f′（x）=2（x-a）ex+（x-a）2ex=（x-a）[x-（a-2）]ex．令f′（x）=0，得x1=a-2，x2=．由此能求出f（x）的单调递区间．
（2）由（Ⅰ）得[f（x）]极大=f（a-2）=4ea-2．当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），得-1≤a≤1；当1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）=4ea-2≤4e3-2=4e；当a＞3时，f（1）=（a-1）2e＞4e，f（x）≤4e不恒成立．由此能求出a的取值范围．
（III）由f′（x）=x（x-2）ex，，知2，令g（x）=2，
从而问题转化为证明当2＜t＜6时，函数2在[-2，t]与x轴有两个不同的交点，由此能够证明当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程在区间[-2，t]上总有两个不同的解．
【解析】
（1）f′（x）=2（x-a）ex+（x-a）2ex，
=（x-a）[x-（a-2）]ex．…2分
令f′（x）=0，得x1=a-2，x2=a．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：

x （-∞，a-2） a-2 （a-2，a） a （a，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），
单调递减区间是（a-2，a）．…6分
（2）由（Ⅰ）得[f（x）]极大=f（a-2）=4ea-2．
①当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），
由，f（1）=（a-1）•2e≤4e，解得-1≤a≤1；
②当a-2≤1＜a，即1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2），
此时f（a-2）=4ea-2≤4e3-2=4e；
③当a-2＞1，即a＞3时，f（1）=（a-1）2e＞4e，f（x）≤4e不恒成立．
综上，a的取值范围是[-1，3]．…12分
（III）∵f′（x）=x（x-2）ex，，
∴2，
令g（x）=2，
从而问题转化为证明当2＜t＜6时，
函数2在[-2，t]与x轴有两个不同的交点，
∵g（-2）＞0，g（t）＞0，g（0）＜0，
∴g（x）=0在[-2，t]上有解，且有两解．
所以，当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程在区间[-2，t]上总有两个不同的解．（15分）