Question

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，若a_n=145，则n=    ．

Answer

根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，写出对应的n-1个等式，然后用累加的办法求出该数列的通项公式，然后代入项求项数．
【解析】
a2-a1=5-1=4，a3-a2=12-5=7，a4-a3=22-12=10，…，由此可知数列{an+1-an}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以an+1-an=4+3（n-1）=3n+1．
a2-a1=3×1+1
a3-a2=3×2+1
…
an-an-1=3（n-1）+1
累加得：an-a1=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以=1++n-1=．
由，解得：．
故答案为10．