Question

已知等差数列{a_n}各项都不相同，前3项和为18，且a₁、a₃、a₇成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列的前n项和T_n．

Answer

（1）根据题意，得 a1+a2+a3=3a2=18，解得a2=6，再由a1、a3、a7成等比数列，建立关于公差d的方程并解之得d=2，由等差数列通项公式即可算出数列{an}的通项公式；
（2）利用逐项作差、累加求和的方法，结合等差数列的前n项和公式算出bn=n（n+1），得到关于n的表达式并化简得，利用裂项相消法求和可得数列的前n项和Tn的表达式．
【解析】
（1）依题意，得
 a1+a2+a3=18，即3a2=18，解得a2=6
设数列{an}的公差为d，可知d≠0
可得，即（6+d）2=（6-d）（6+5d）
解之得 d=2
∴an=a2+（n-2）d=2（n+1），即数列{an}的通项公式为an=2（n+1）；
（2）由已知bn+1-bn=an
∴当n≥2时，bn-bn-1=an-1=2n，所以可知

以上各式进行累加，可得bn=2（1+2+3+…+n）=n（n+1）
又∵b1=2=1×（1+1），也满足bn=n（n+1）
∴可知当n∈N*时，bn=n（n+1）
因此，
可得．