Question

设P是曲线C₁上的任一点，Q是曲线C₂上的任一点，称|PQ|的最小值为曲线C₁与曲线C₂的距离．
（1）求曲线C₁：y=e^x与直线C₂：y=x-1的距离；
（2）设曲线C₁：y=e^x与直线C₃：y=x-m（m∈R，m≥0）的距离为d₁，直线C₂：y=x-1与直线C₃：y=x-m的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer

（1）在曲线C1上任取一点P（x，ex），由点到直线的距离公式求出点P（x，ex）到y=x-1的距离，然后构造函数f（x）=ex-x+1，利用导函数求其最小值；
（2）结合（1）中的过程可知，，由两条平行线间的距离公式得，作和后利用绝对值的不等式求最小值．
【解析】
（1）要求曲线C1与直线C2的距离，只需求曲线C1上的点到直线y=x-1距离的最小值．
设曲线C1上任意一点为P（x，ex），则点P（x，ex）到y=x-1的距离．
令f（x）=ex-x+1，则f'（x）=ex-1，
由f'（x）=ex-1=0，得x=0．
所以当x∈（0，+∞）时，f'（x）=ex-1＞0
当x∈（-∞，0）时，f'（x）=ex-1＜0．
故当x=0时，函数f（x）=ex-x+1取极小值，也就是最小值为f（0）=2，
所以取最小值，故曲线C1与曲线C2的距离为；   
（2）由（1）可知，曲线C1：y=ex与直线C3：y=x-m的距离，
由两条平行线间的距离公式得直线C2：y=x-1与直线C3：y=x-m的距离，
则=
，
所以d1+d2的最小值为．