Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若且，求的值．

Answer

（1）由f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π可求ω，f（x）图象的一条对称轴是直线x=，-π＜φ＜0可求φ；
（2）利用二倍角的余弦，由f（α+）=-可求2cos2α=-，结合题意可求cosα与sinα，从而可得f（）的值．
【解析】
（ 1）由f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，得=π，即ω=2，（2分）
∴f（x）=2cos（2x+ϕ），
又f（x）图象的一条对称轴是直线x=，有2×+φ=kπ，则φ=kπ-，k∈Z，
而-π＜φ＜0，令k=0，得φ=-，（5分）
∴f（x）=2cos（2x-）；（6分）
（ 2）由f（α+）=-得2cos[2（α+）-]=2cos2α=-，
∴cos2α=-，（7分）
而α∈（0，π），sinα＞0，cosα＞0，（8分）
∴cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=-，
∴cosα=，sinα=（10分）
∴f（）=2cos（α-）=（cosα+sinα）=（12分）