Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分别为线段AB，CD的中点，连接AN，DM交于点O，将△ADM沿直线DM翻折成△A'DM，使平面A'DM⊥平面BCD，F为线段A'C的中点．
（1）求证：ON⊥平面A'DM
（2）求证：BF∥平面A'DM；
（3）直线FO与平面A'DM所成的角．

Answer

（1）连接MN，根据菱形的对角线互相垂直，平面A'DM⊥平面BCD，及面面垂直的性质定理可得AN⊥平面A'DM，即ON⊥平面A'DM
（2）取A'D中点E，连接EF、EM，根据中位定理及平行四边形的判定定理可得EFBM是平行四边形，进而根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得到BF∥平面A'DM；
（3）证得A'O⊥平面ABCD后，以ON为x轴，OM为y轴，OA'为z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出直线FO的方向向量与平面A'DM的法向量，代入向量坐标公式，可得答案．
证明：（1）连接MN，由平面几何知AMND是菱形
∴AN⊥DM…1’
∵平面A'DM⊥平面ABCD，DM是交线，AN⊂平面ABCD…2’
∴AN⊥平面A'DM，
即ON⊥平面A'DM…3’
（2）取A'D中点E，连接EF、EM
∵F是A'C中点
∴…4’
又M是AB中点
∴在菱形ABCD中，
∴…5’
∴EFBM是平行四边形
∴BF∥EM…6’
∵EM⊂平面A'DM，BF⊄平面A'DM…7’
∴BF∥平面A'DM…8’
【解析】
（3）∵AB=2BC=2，M是AB中点
∴A'D=A'M=1
∵菱形ADNM中O是DM中点
∴A'O⊥DM
∵平面A'DM⊥平面ABCD
∴A'O⊥平面ABCD…9’
以ON为x轴，OM为y轴，OA'为z轴建立如图空间直角坐标系，∠ADN=∠ABC=120°
在△ADN中AD=DN=1，
∴
同理求得DM=AD=AM=1
∴
∵M是CD中点
∴
∵F是A'C中点
∴…11’
∵NO⊥平面A'DM
∴平面A'DM的一个法向量
∵
∴
设OF与平面A'DM所成的角为θ，…12’
则…13’
=
∴…14’
∴直线FO与平面A'DM所成的角为…15’