Question

已知数列{a_n}的各项均为正值，a₁=1，对任意n∈N^*，a_n+1²-1=4a_n（a_n+1），b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）当k＞7且k∈N^*时，证明对任意n∈N^*，都有成立．

Answer

（1）由，得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，应有an+1=2an+1，整理为an+1+1=2（an+1），通过等比数列{an+1}的通项求出
数列{an}的通项公式，再利用对数的计算法则求{bn}的通项公式；
（2）由（1）cn=an•bn=n•（2n-1），要求数列{cn}的前n项和Tn，先分组再利用错位相消法和公式法求和．
（3）法1：设，
从而，利用不等式，即当且仅当x=y时等号成立推证．
法2：=，合理分组进行分式放缩推证．
【解析】
（1）由，得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0
∵数列{an}的各项均为正值，an+1+2an+1＞0，∴an+1=2an+1，整理为an+1+1=2（an+1）
又a1+1=2≠0∴数列{an+1}为等比数列，
∴∴数列{an}的通项公式，
数列{bn}的通项公式．
（2）由（1）cn=an•bn=n•（2n-1）
所以Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n-（1+2+3+…+n）
令Tn′=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
则2Tn′=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1②
①-②得-Tn′=1•21+22+23+24+…++2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1=（1-n）2n+1-2
（3）法1：设
∴
当x＞0，y＞0时，，
∴∴当且仅当x=y时等号成立．
∴上述（1）式中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk-1全为正，
∴
∴
法2∵
=
=
=