Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和是S_n=f（n）-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=log_aa_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）把点（1，2）代入函数解析式中求得a，然后可得数列前n项和的表达式，进而利用an=Sn-Sn-1，求得an．
（II）把（I）中的an代入bn中求得数列{an•bn}的通项公式，然后利用错位相减法求得数列的前n项的和．
【解析】
（I）把点（1，2）代入函数f（x）=ax得a=2，
所以数列{an}的前n项和为Sn=f（n）-1=2n-1
当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1
对n=1时也适合∴an=2n-1
（II）由a=2，bn=logaan+1得bn=n，
所以anbn=n•2n-1
Tn=1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1①
2Tn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n②
由①-②得：-Tn=2+21+22+…+2n-1-n•2n
所以Tn=（n-1）2n+1．