Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范围．

Answer

（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．
（2）利用奇偶性的定义，看f（-x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；
也可计算f（-x）+f（x）=0得到．
（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．
【解析】
（1）由对数函数的定义知．如果，则-1＜x＜1；
如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（-1，1）
（2）∵，
∴f（x）为奇函数．
（3）（ⅰ）对a＞1，loga等价于，①
而从（1）知1-x＞0，故①等价于1+x＞1-x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，loga等价于
0＜．②
而从（1）知1-x＞0，故②等价于-1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．