Question

已知f（x）=2cos²x+sin2x+m（m∈R）．
（I）若x∈R，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求m的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若a、b、c分别是三角形角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=3，求△ABC的面积．

Answer

（I）根据正弦函数的单调性，构造不等式-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解不等式即可求出函数的单调增区间．
（II）根据角的范围得出-≤sin（2x+）≤1，可知1+m=2从而求出结果．
（III）由2sin（+2A）+2=3，结合0＜A＜π可求A，然后由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA及已知可求bc，代入三角形的面积公式S=bcsinA
【解析】
（I）f（x）=2cos2x+sin2x+m=cos2x+sin2x+1+m=2sin（+2x）+1+m
当-+2kπ≤2x+≤+2kπ⇒x∈[-+kπ，+kπ]为函数的单调增区间．
（II）∵x∈[0，]
∴≤2x+≤
∴-≤sin（2x+）≤1
∵f（x）的最大值为4
∴1+m=2解得：m=1
（III）由（II）知f（x）=2sin（+2x）+2
∵f（A）=3
∴2sin（+2A）+2=3即sin（+2A）=
∵0＜A＜π
∴A=
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA
∴a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc
∴bc=1
S=bcsinA=×1×=