Question

如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：
（1）AO与A′C′所成角；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角．

Answer

（1）根据A′C′∥AC，可得AO与A′C′所成角就是∠OAC，解Rt△AOC，求出∠OAC的大小．
（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE，由平面BC′⊥平面ABCD，得OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角，解在Rt△OAE，求出tan∠OAE的大小．
（3）由OC⊥OA，OC⊥OB，可知OC⊥平面AOB，又OC⊂平面AOC，故平面AOB⊥平面AOC，从而得到平面AOB与平面AOC所成角为90°．
【解析】
（1）∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥OA，
在Rt△AOC中，OC═，，∴∠OAC=30°．（4分）
（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角．
在Rt△OAE中，，，∴．（9分）
（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角为90°．（13分）