Question

如图1，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连接EF，A'B（如图2）．

（1）求证：A'D⊥EF；
（2）求点A'到平面BEDF的距离．

Answer

（1）根据折叠前AD⊥AE，CD⊥CF，可得折叠后A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，再由纡面垂直的判定定理可得A'D⊥平面A'EF，再由线面垂直的性质可得A'D⊥EF；
（2）利用割补法求出四边形BEDF的面积，及三角形BEF和三角形DEF的面积，求出三棱锥A'DEF的体积后，利用等积法，可求出点A'到平面BEDF的距离．
【解析】
（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF…（1分）
则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F…（2分）
又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F⊂平面A'EF…（3分）
∴A'D⊥平面A'EF…（4分）
而EF⊂平面A'EF，
∴A'D⊥EF…（5分）
（2）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点
∴…（6分）
∵…（7分）
∴…（8分）
在Rt△BEF中，BE=BF=1，∴
而A'E=A'F=1，
∴A'E2+A'F2=EF2…（9分）
∴…（10分）
由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，
∴…（11分）
设点A'到平面BEDF的距离为h，则…（12分）
∴…（13分）
∴点A'到平面BEDF的距离为…（14分）