Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：．

Answer

（1）由题意可知，Sn=2an-1，结合递推公式a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1，可得，结合等比数列的通项公式可求由b1=a1=1，b4=1+3d=7，可求公差d，进而可求bn，
（2）由，利用裂项求和可求Tn，然后结合数列的单调性可证
【解析】
（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn=2an-1…（1分）
当n=1时，a1=S1=2a1-1，∴a1=1…（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-1）-（2an-1-1）=2an-2an-1，
∴an=2an-1，即 …（3分）
∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，
∴，…（5分）
设{bn}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴bn=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）…（9分）
∴…（10分）
∵n∈N*，∴…（11分）
∴数列{Tn}是一个递增数列                                           …（12分）
∴．…（13分）
综上所述，…（14分）