Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，3]时和当a∈[-3，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．
【解析】
当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（2分）
则当a∈（2，3]时，由f（x）=，
得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，
则f（x）在x∈（-∞，]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，]，
f（x）在x∈[，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，）即可，
令g（a）==（a++4），
只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
∴（g（a））max=g（3）=，
故实数t的取值范围为（1，）；…（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，）．…（17分）
故选B．