Question

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B为三角形的内角，
∴B=；
（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，
由已知及余弦定理得：4=a2+c2-2accos≥2ac-2ac×，
整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，
则△ABC面积的最大值为××=××（2+）=+1．