Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：平面PAC平面BEF；
（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

Answer

（1）证明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，从而可得平面PAC⊥平面BEF；
（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG∥平面BEF，则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．
（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB，
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，
∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，
∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，
∵BE⊂平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；
（2）【解析】
取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG，
∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴CG∥平面BEF．
同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．
则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．
∵PB⊥底面ABC，CM⊂平面ABC
∴CM⊥PB，
∵CM⊥AB，PB∩AB=B，∴CM⊥平面PAB，
∵GM⊂平面PAB，∴CM⊥GM，
而CM为平面CMG与平面ABC的交线，
又AM⊂底面ABC，GM⊂平面CMG，∴∠AMG为二面角G-CM-A的平面角
根据条件可知AM=，AG=，
在△PAB中，cos∠GAM=，
在△AGM中，由余弦定理求得MG=，∴cos∠AMG=，
故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为．