Question

设函数f（x）=x^-1e^x的定义域为（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）设函数，如果x₁≠x₂，且g（x₁）=g（x₂），证明：x₁+x₂＞2．

Answer

（1）先求其导函数，找到其增减区间即可求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）先求出函数g（x）的增减区间，再利用题中要证的结论构造新函数F（x）=g（x）-g（2-x），求出新函数F（x）=g（x）-g（2-x）的增减区间，把二者相结合即可证明结论．
【解析】
（1），则x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0．
所以，函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2分）
当m≥1时，函数f（x）在[m，m+1]上是增函数，
此时；
当0＜m＜1时，函数f（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，
此时f（x）min=f（1）=e；（6分）
（2）证明：
考察函数g（x）=xe-x，g′（x）=（1-x）e-x
所以g（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．（结论1）
考察函数F（x）=g（x）-g（2-x），即F（x）=xe-x+（x-2）ex-2
于是F'（x）=（x-1）（e2x-2-1）e-x
当x＞1时，2x-2＞0，从而e2x-2-1＞0，又e-x＞0，所以F′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．
又F（1）=e-1-e-1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即g（x）＞g（2-x）．（结论2）（9分）
若（x1-1）（x2-1）=0，由结论1及g（x1）=g（x2），得x1=x2=1，与x1≠x2矛盾；
若（x1-1）（x2-1）＞0，由结论1及g（x1）=g（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾；（11分）
若（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1
由结论2可知，g（x2）＞g（2-x2），所以g（x1）=g（x2）＞g（2-x2）．
因为x2＞1，所以2-x2＜1，又由结论1可知函数g（x）在区间（-∞，1）内是增函数，
所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2．（15分）