Question

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，
存在相应的x∈D使得当x∈D且x＞x时，总有，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进性”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：
①f（x）=x²，g（x）=②f（x）=10^-x+2，g（x）=③f（x）=，g（x）=④f（x）=，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④

Answer

本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．
【解析】
f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）-g（x）→0．
对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时便不符合，所以①不存在；
对于②f（x）=10-x+2，g（x）=肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）-g（x）→0；
对于③f（x）=，g（x）=，，
设λ（x）=x-lnx，＞0，且lnx＜x，
所以当x→∞时x-lnx越来愈大，从而f（x）-g（x）会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④f（x）=，g（x）=2（x-1-e-x），当x→0时，，
因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C
故选C