Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M在线段PD上，且AM⊥MC．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer

（1）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AM，利用AM⊥MC，可得AM⊥平面PCD，利用面面垂直的判定，即可证明平面ABM⊥平面PCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量，，利用向量的夹角公式即可得到结论；
（3）确定平面ACD的法向量为，平面ACM的法向量为，利用向量的夹角公式即可求二面角M-AC-D的余弦值．
（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，
∵AM⊥MC，CD∩MC=C
∴AM⊥平面PCD，
∵AM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）【解析】
以A为坐标原点，AB为x轴，建立空间直角坐标系，如图．
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
由于PA=AD，AM⊥PD，∴M是PD的中点，∴M（0，2，2）；
设平面ACM的一个法向量，由，可得：，令z=1，则．
设CD与平面ACM所成的角为α，又，则．
所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为．
（3）【解析】
由于PA⊥平面ACD，取平面ACD的法向量为，平面ACM的法向量为，
∴．
∴二面角M-AC-D的余弦值为．