Question

设函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果当恒成立，则求实数a的取值范围．

Answer

（1）通过对函数f（x）求导，进而转化为判断二次函数y=x2-2ax+2a的正负问题，再对a分类讨论即可．
（2）当恒成立问题，转化为当x＞1，且x≠2时恒成立问题，只要利用（1）的结论对a及x进行分类讨论f（x）-a及x-2的符号即可．
【解析】
（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞），，
设g（x）=x2-2ax+2a，△=4a2-8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
③当a＞2时，设x1，x2（x1＜x2）是方程x2-2ax+2a=0的两个根，则，
当1＜x＜x1或x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在（1，x1），（x2，+∞）上是增函数．
当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上是减函数．
综上可知：当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
          当a＞2时，f（x）的单调增区间为（1，x2），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．
（2），即，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）在（1，+∞）是增函数．
因为当1＜x＜2时，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以当a≤2时，（*）成立
②当a＞2时，因为f（x）在（x1，2）上是减函数，所以h（x）在（x1，2）上是减函数，所以当x1＜x＜2时，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
综上可知，a的取值范围为（-∞，2]．