Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，C₁D₁的中点，则A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由正方体的几何特征，易得EF⊥平面A1B1C，则∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．然后解三角形，求A1B1与平面A1ECF所成角的正弦值．
【解析】
连接C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
又EF⊂平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，sin∠B1A1C==．
∴A1B1与平面A1ECF所成角的弦值为．
故选B