Question

已知在x=2处取到极小值．
（1）求a，b的值； 
（2）若 对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先求导．令f′（x）=0，根据f（x）在x=2取到极小值-列出关于a，b的方程即可求得a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=-4x+4，令f'（x）=0得x=±2，列表判断极大值极小值点，再根据f（x）在[-4，3]上最大值为得到关于m的不等关系，解此不等关系即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）依题意，得f'（x）=x2+a
∵f（x）在x=2取到极小值-
∴
∴
得：．
（2）由（1）可知f（x）=-4x+4，令f'（x）=0得x=±2

x （-4，-2） -2 （-2，2） 2 （2，3）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

又f（-4）=-，f（3）=1，
∴f（x）在[-4，3]上最大值为
由f（x）≤m2+m+
⇒m≥2或m≤-3．即为实数m的取值范围．